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Primzahl
Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik
München: Beck, 2004. Gebunden, 398 Seiten. Thomas Filk, Übs. – sautoy Links
Seit der Antike begeistern die Primzahlen und die vielen Fragen dazu Mathematiker und Amateur-Zahlentheoretiker. So fragten sich die Griechen: Gibt es unendlich viele Primzahlen?
Euklid (sautoy Links) bewies, dass es keine größte Primzahl gibt, anders gesagt: es gibt unendlich viele. Bei den Primzahlenzwillingen (z. B. 347, 349) ist diese Frage bis heute unbeantwortet. Weitere offene Fragen sind: Gegeben eine Primzahl. Wie lautet die nächste in der Folge? Unterliegt das Auftreten der Primzahlen einem Muster?
Die Musik der Primzahlen geht auf viele dieser Fragen ein.
Immer wieder kreisten die Gedanken der Mathematiker um die Riemannsche Vermutung. Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann (1826-1866) stellte eine Hypothese zu den Nullstellen der Zetafunktion (S. 100; mehr dazu, siehe sautoy Links) auf, die bis heute unbewiesen ist. Auch Sautoys Musik der Primzahlen konzentriert sich auf die Lösungsversuche dazu. Dabei vermag der Autor es, einerseits ohne viel mathematische Formeln auszukommen (was der eine bedauert, der andere Leser freudig begrüßt) und andrerseits den Laien in diese wunderbare Zahlenwelt einzuführen. Sautoy streut, wie eher von angloamerikanischen Wissenschaftsjournalisten gewohnt (im besten Sinne bei Simon Singh: Fermat's Enigma, sautoy Rezension), viele Anekdoten ein. So nebenbei fließen jedoch erstaunliche Einsichten und gar Beweise ein. Er gibt beispielsweise einen Beweis dafür, dass es beliebig grosse zusammenhängende Zahlenbereiche gibt, die keine Primzahlen enthalten (S. 204-205; siehe sautoy Beweis). Als Sautoy dann die Quantenphysik, die Chaostheorie und die Primzahlen zusammenbringt (S. 342) wurde es für mich undurchschaubar.
Im Gegensatz zu deutschen Sachbüchern spürt man, dass der Autor selbst von den Entwicklungen begeistert ist, was manchmal zu etwas schiefen Vergleichen führt (Riemann findet bei Sautoy "die Aufzeichnung in der Primzahllotterie", S. 120). Aber will das bemängeln, wenn dafür der Funken auf den Leser überspringt?
Kurz wird auch John Nash erwähnt (S. 372), siehe dessen ausgezeichnete Biografie: Sylvia Nasar: A Beautiful Mind (sautoy Rezension).
Eine gute Mischung aus Biografie, Anekdoten und Zahlentheorie. Wem es zu wenig mathematisch zugeht, der möge mit den sautoy Links und der dort genannten Literatur weiterstöbern.
Zuletzt: ein netter Einfall (des Verlags?): die Seitenzahlen mit Primzahlen im Buch sind hervorgehoben.
Fundamentalsatz der Zahlentheorie
Jede natürliche Zahl n >1 besitzt eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung. Der Zusatz "bis auf die Reihenfolge" bedeutet, es gibt keine zwei verschiedenen Primfaktorzerlegungen für eine Zahl n, abgesehen von der Reihenfolge.
Meine Bedenken bezüglich der Faktorenzerlegung der Primzahlen selbst (17x1 hätte mit der1 eine Nicht-Primzahl primzahl) wurden von kompetenter Seite zerstäubt: ein Produkt (im mathematischen Sinne) kann auch aus einem (1) Faktor bestehen, also wird die 17 zum Produkt: 17 primzahl  .
Beliebig grosse Zahlenbereiche sind frei von Primzahlen
Man betrachte n! (n Fakultät). Diese Zahl ist durch alle Zahlen von 1 bis n teilbar. Nun ist n! + 2 durch 2 teilbar (n! ist es, also auch n! +2); n! + 3 durch 3 teilbar, usw. bis n! – 1 ist durch n–1 teilbar und schließlich n! + n ist durch n teilbar. Es gibt also für jede beliebige natürliche Zahl n einen zusammenhängenden Bereich mit n–1 Zahlen, die keine Primzahlen sind. Kurzum: Der Abstand zwischen 2 Primzahlen kann beliebig groß sein.
Links
Riemannsche Vermutung: PrimzahlJürg Kramer (pdf) sehr zu empfehlen!PrimzahlWikipedia
PrimzahlMatroids MatheplanetPrimzahlDas Sieb des Eratosthenes (pdf)
PrimzahlWolfgang Blum: "Chaos hilf! Wird dank der Quantenphysik die Riemannsche Vermutung endlich bewiesen?"
PrimzahlDie Sieben-Millionen-Dollar-Probleme
sautoy Simon Grynaeus als Wegbereiter René Descartes. Die Vorrede Simon Grynaeus' zur Euklid-Ausgabe 1533 und ihre Auswirkungen
sautoy Die Goldbachsche Vermutung
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Sautoy PrimzahlMarcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. München: Beck, 2004. Gebunden, 398 Seiten. Thomas Filk, Übs. Sautoy
Marcus du Sautoy: The Music of the Primes. Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Perennial, 2004. Broschiert, 368 Seiten Primzahl
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© by Herbert Huber, Am Fröschlanger 15, 83512 Wasserburg, Germany, 25.7.2005