Drei-Kasten-Problem – Drei-Türen-Problem – Monty-Hall-Problem – Gefangenenproblem

Drei-Kasten-Problem – Drei-Türen-Problem – Monty-Hall-Problem – Gefangenenproblem – Ziegenproblem
Lösungen zu diesen Problemen: intuitive Erklärung – Fallunterscheidung – Beweis – Literatur

Hier zu den verschiedenen

Aufgabenstellungen, so diese nicht bekannt sind.

Es gibt zahlreiche Lösungen, die das Ergebnis: »Es ist vorteilhaft zu wechseln« veranschaulichen. Hier zuerst zwei intuitive Erklärungen.

Immer wenn hinter der Türe von Monty (des Kandidaten) eine Ziege ist, ist es für ihn geboten zu wechseln. Er verbessert sich von der Ziege zum Auto. In 2/3 aller Fälle ist hinter seiner Türe eine Ziege. In genau diesen Fällen ist genau hinter der geschlossenen Tür das Auto. Folglich ist es, wie in der Aufgabe vorausgesetzt, auch im Falle des Nichtwissens für Monty (den Kandidaten) vorteilhaft zu wechseln. In 2/3 aller Fälle verbessert er sich.
a) Zu Beginn ist die Wahrscheinlichkeit für das Auto (WfdA) hinter A = 1/3.
b) Zu Beginn ist die WfdA hinter Nicht-A = 2/3.
c) Nach dem Öffnen einer Tür von den beiden Nicht-A-Türen ist die WfdA hinter der geöffneten Nicht-A-Tür = 0, da der Moderator nur eine Niete öffnet.
d) Da die WfdA für beide Nicht-A-Türen nach b) = 2/3 ist, so ist die WfdA für die geschlossene Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe b) minus 0 (siehe c) = 2/3. Somit hat der Kandidat die Wahl zwischen WfdA bei A = 1/3 (siehe a) und der WfdA bei der geschlossenen Nicht-A-Tür = 2/3 (siehe d).
Man kann Monty nur empfehlen zu wechseln.

Weitere intuitive Erklärungen am Beginn der Fallunterscheidung mit 10 Türen.

Beweis
Der Beweisgedanke ist folgender: Die anfängliche Gewinnwahrscheinlichkeit für die Wahl des Kandidaten = 1/3 bleibt, auch wenn der Moderator eine Tür geöffnet hat. Das wird bewiesen. Die gesamte Gewinnwahrscheinlichkeit bei Öffnen aller Türen bleibt = 1. Folglich ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die noch geschlossene, nicht vom Kandidaten gewählte Tür = 2/3.

Die Türen seien A, B, C. Nur hinter einer Tür ist ein Gewinn.
Es sind drei Fälle möglich: Der Kandidat wählt im Fall I die Tür A; im Fall II die Tür B; im Fall III die Tür C. Die Wahrscheinlichkeit für jeden der 3 Fälle ist 1/3. Die Berechnung erfolgt für Fall I, alle anderen Fälle sind analog zu behandeln.
Hypothese h: der Gewinn ist hinter der gewählten Tür A.
p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür ist, bevor man irgendetwas weiß (außer den Spielbedingungen).
e (die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür B.
p(h/e) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der gewählten Tür A ist, wenn der Moderator Tür B öffnet.

(1) Bayes' Theorem: p(h/e) =	*p(e/h) p(h)**
	p(e)

Gesucht ist gerade die linke Seite in der Formel zu Bayes' Theorem, das ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderat Tür B öffnet. Zu berechnen ist daher: p(e/h) * p(h)/p(e) [Zu den Beweiszeilen siehe die nachfolgenden

Erläuterungen]

(2)	p(e/h) = 1/2
(3)	p(h) = 1/3
(4)	p(e) = 1/2
(5)	p(e/h) * p(h)	=	1/2 * 1/3	=	2	=	1
	p(e)	=	1/2	=	6	=	3

(6)	p(h/e) = 1/3
(7)	Gesamtwahrscheinlichkeit für Gewinn hinter A, B oder C = 1 (nach Spielvoraussetzung)

Gewinn hinter	A	B	C	Summe
(8) Wahrscheinlichkeit	1/3 aus (6)	0, da geöffnet		1 aus (7)
(9) Wahrscheinlichkeit			1 –1/3 = 2/3

Die Gewinnwahrscheinlich erhöht sich auf 2/3. Es für Monty geboten zu wechseln.

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Erläuterungen

Zu (2): p(e/h) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Moderator die Tür B öffnet (und der Kandidat davon Kenntnis erlangt), gegeben: hinter Tür A ist der Gewinn. Sie ist 1/2. Wenn der Gewinn hinter der Tür A ist, sind hinter den beiden anderen Türen Verluste. Davon wählt der Moderat irgendeine mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Mit 50% Wahrscheinlichkeit wählt er also Tür B.

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Zu (3): p(h) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter Tür A ist, bevor man irgendetwas weiß = 1/3 –

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Zu (4): p(e) Ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet; sie ist 1/2. Die Berechnung erfolgt durch Fallunterscheidung:
Fall 1: die Chance, daß der Moderator die Tür B öffnet (er könnte ebenso gut Tür C wählen), ist 1/2. Da die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Fall 1 eintritt 1/3 ist, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit 1/3 * 1/2 = 1/6.
Fall 2: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür B. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 0, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 2 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 0 = 0
Fall 3: der Kandidat wählt A, der Gewinn ist hinter Tür C. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet ist 1, da der Moderator den Regeln gemäß, nur eine Tür mit Verlust öffnet. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß Fall 3 eintritt und der Moderator Tür B öffnet = 1/3 * 1 = 1/3
Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator die Tür B öffnet, ist für alle drei Fälle 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2

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Zu (5): die aus (2) bis (4) ermittelten Werte in (1) eingesetzt ergeben p(h/e) = 1/3

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Zu (6): Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, gegeben, daß der Moderator Tür B öffnet, ist 1/3. Das deckt sich mit der Intuition: die anfängliche Wahrscheinlichkeit p(h) gilt auch für p(h/e). Allerdings hat sich die Situation dramatisch verändert: es stehen nur noch Tür A und C zur Disposition.

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Zu (8) und (9): Die Tür B ist geöffnet: dahinter ist ein Verlust. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür A ist, ist 1/3 (wie in (5) berechnet), daher ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Gewinn hinter der Tür C ist = 1 – 1/3 = 2/3.

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Zusammenfassung
Nachdem der Moderator die Tür B geöffnet hat, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die gewählte Tür A des Kandidaten = 1/3; für die andere verschlossene Tür C = 2/3. Eine ähnliche Berechnung kann man im Fall I für e: "(die Kenntnis davon) die vom Moderator geöffnete Tür ist Tür C" durchführen. Analoge Berechnungen kann man für die Fälle II und III durchführen.
Das Ergebnis wird immer sein: der Kandidat ist gut beraten, nach dem Öffnen der Verlusttür durch den Moderator, die Option zum Wechseln der Türe auszuüben.

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