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Ziegenproblem
Drei-Kasten-Problem – Drei-Türen-Problem – Monty-Hall-Problem – Gefangenenproblem – Ziegenproblem
Lösungen zu diesen Problemen: Ziegenproblem intuitive ErklärungZiegenproblem FallunterscheidungZiegenproblem BeweisZiegenproblem Literatur
Hier zu den verschiedenen Ziegenproblem Aufgabenstellungen, so diese nicht bekannt sind.
Fallunterscheidung
In einem Gedankenaustausch per E-Mail wurde das Problem auf 10 Türen erweitert. Dafür bringe ich hier eine Fallunterscheidung, die natürlich zum selben Ergebnis führt, wie die intuitiven Erklärungen und der Beweis. Für manchen mag sie aber einleuchtender sein.
Zu Beginn wählt Monty eine Tür, nennen wir sie A. Gewinnchance = 1 : 10.
Die Gewinnchance für die verbliebenen 9 Türen = 9/10. Schon hier könnte es klingeln. Ähnlich wie in einer der Ziegenproblem intuitiven Erklärungen ausgeführt, zeigt ihm der Moderator in 9 von 10 Fällen die richtige Tür, das ist die, welche der Moderator nicht öffnet.
Spielvariante, die die Einsicht fördert
Der Moderator öffnet nicht alle Ziegentüren (mit Ausnahme der von Monty gewählten Türe A), sondern nur die Türe hinter der das Auto steht. Das ist wahrscheinlichkeitsmässig genau dasselbe, wie wenn er die Tür mit dem Auto als einzige zuläßt.
In 9 Fällen (in denen hinter Montys Tür eine Ziege ist) kann der Moderator die Tür mit dem Auto öffnen. Nur in einem Fall (hinter Montys Tür ist das Auto) muß er passen. Hier hat zwar Monty die volle Information, aber man sieht leicht, daß er in dieser Spielvariante in 9 Fällen das Auto hinter einer nicht von ihm gewählten Tür direkt sieht. Monty muß also wechseln.
Nur in 1 Fall paßt der Moderator. Jetzt weiß Monty, daß das Auto hinter der von ihm gewählten Tür A ist: er wechselt nicht.
Nachdem Monty die Tür A gewählt hat, öffnet der Moderator 8 Ziegentüren. Eine bleibt zu.
  1. Hinter Montys Tür ist ein Auto: es wäre dumm zu wechseln.
  2. Hinter Montys Tür ist eine Ziege. Hinter B ein Auto; der Moderator öffnet C bis J. Monty hat die Wahl: A oder B. Unbedingt wechseln!
  3. Hinter Montys Tür ist eine Ziege. Hinter C ein Auto; der Moderator öffnet B bis J außer C. Monty hat die Wahl: A oder C. Unbedingt wechseln!
  4. Hinter Montys Tür ist eine Ziege. Hinter D ein Auto; der Moderator öffnet B bis J außer D. Monty hat die Wahl: A oder D.. Unbedingt wechseln!
  5. Hinter Montys Tür ist eine Ziege. Hinter E ein Auto; der Moderator öffnet B bis J außer E. Monty hat die Wahl: A oder E. Unbedingt wechseln!
  6. Hinter Montys Tür ist eine Ziege. Hinter F ein Auto; der Moderator öffnet B bis J außer F. Monty hat die Wahl: A oder F. Unbedingt wechseln!
  7. Hinter Montys Tür ist eine Ziege. Hinter G ein Auto; der Moderator öffnet B bis J außer G. Monty hat die Wahl: A oder G. Unbedingt wechseln!
  8. Hinter Montys Tür ist eine Ziege. Hinter H ein Auto; der Moderator öffnet B bis J außer H. Monty hat die Wahl: A oder H. Unbedingt wechseln!
  9. Hinter Montys Tür ist eine Ziege. Hinter I ein Auto; der Moderator öffnet B bis J außer I. Monty hat die Wahl: A oder I. Unbedingt wechseln!
  10. Hinter Montys Tür ist eine Ziege. Hinter J ein Auto; der Moderator öffnet B bis I. Monty hat die Wahl: A oder J. Unbedingt wechseln!
Wir zählen ab: Im 1. Fall ist wechseln dumm. Monty würde das Auto mit einer Ziege tauschen. In den Fällen 2. bis 10. führt Wechseln mit Wahrscheinlichkeit =1 zum Auto. Da Monty nicht weiß, welcher Fall vorliegt und alle Fälle gleich wahrscheinlich sind, kann man ihm nur empfehlen: wechseln.
Ziegenproblem Anfang

Ziegenproblem
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© by Herbert Huber, Am Fröschlanger 15, 83512 Wasserburg, Germany, 22.12.2004